Дельфис

Как неоднократно случалось в истории науки, в наши дни происходит возвращение к некоторым давно забытым идеям далёкого прошлого. В этом смысле особое значение приобретает наследие, оставленное величайшим геометром и философом Древней Греции Пифагором. Великий мыслитель и его последователи создали учение о числах, их отношениях, имеющее огромное значение и для современной науки. Сегодня уже можно говорить о существовании особых (безразмерных) математических отношениях, воплощённых в «конструкциях» объектов и в явлениях живой и косной природы. Одно из них — деление отрезка в среднем и крайнем отношении, получившее название золотой пропорции (золотого сечения, отношения).

^{Рис.1. «Золотая середина» отрезка АВ (точка С)}

Считается, что такое деление отрезка впервые было осуществлено Пифагором (V в. до н.э.), хотя имеются сведения о заимствовании метода у египтян и вавилонян. Пифагор показал, что отрезок единичной длины АВ можно разделить на две части точкой С (рис.1) так, что отношение большей его части (СВ=х) к меньшей (АС=1-х) будет равняться отношению всего отрезка (АВ=1) к большей части (СВ), т.е. СВ/АС=(СВ+АС)/СВ, или х/(1-х) = 1/х, откуда имеем важное алгебраическое выражение: х²+х—1=0. Положительным корнем (решением) этого уравнения является величина -1)/2, тогда отношение 1/х в рассматриваемой пропорции равно числу 1,618033989..., и единичный отрезок АВ точкой С делится на две части — 0,382 и 0,618, а это отвечает золотой пропорции 1:0,618=0,618:0,3821,618.

Число золотого отношения 1,618 обозначается буквой Ф в честь древнегреческого скульптора Фидия, часто использовавшего пропорцию в своих творениях. Письменные свидетельства о ней впервые приводятся в «Началах» древнегреческого математика Евклида (III в. до н.э.). Впоследствии золотым делением занимались Гипоксил (II в. до н.э.), Папп (III в. до н.э.), Дж.Компано из Наварры (XIII в.). Евклид использовал золотую пропорцию для построения правильных пятиугольников и десятиугольников. Пятиугольник (пентаграмма) считается у пифагорейцев священным, символом жизни и здоровья, поскольку эта фигура симметрична и в то же время воплощает в себе асимметрию золотой пропорции. Существует в трёхмерном пространстве всего пять правильных многогранников: четырехгранник (тетраэдр), шестигранник (куб), восьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр), двадцатигранник (икосаэдр). Все они были известны древним грекам и получили название «Платоновых тел» по имени Платона, впервые их систематически описавшем. Каждое из них символизировало одно из пяти «начал», или «стихий»: гексаэдр (куб) — тело земли, икосаэдр — тело воды, октаэдр — тело воздуха, тетраэдр — тело огня, додекаэдр — тело мира (вселенской души, эфира или разума). Евклидом была показана возможность построения всех правильных многогранников на основе деления отрезка в среднем и крайнем отношении. Великий ученый средневековья И.Кеплер (1571-1630) представил модель Солнечной системы в виде последовательно вложенных друг в друга Платоновых тел.

В XIII веке итальянский математик Фибоначчи установил ряд чисел (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...), особенностью которого является то, что каждое число равно сумме двух предыдущих: , где n — номер числа. В дальнейшем было показано, что отношение соседних чисел этого «возвратного» ряда при достаточном удалении от его начала составляет золотую пропорцию (рис.2). В принципе любой ряд чисел, построенный по тому же принципу, но с другими исходными членами, также обладает этими свойствами. Примером может служить ряд Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47,... «Золотой» ряд Ф°, Ф, Ф², Ф³, Ф⁴, Ф⁵, ..., Фⁿ, ...с исходными членами Ф°=1 и Ф= 1,618 обладает уникальной особенностью: он является и мультипликативным, и аддитивным, то есть одновременно это и геометрическая прогрессия, и арифметический ряд (фⁿ⁺¹=фⁿ+ф^n-1). Число Ф здесь — естественный инвариант преобразований симметрии подобия.

^{Рис. 2. Отношение двух соседних чисел Фибоначчи; n — порядковый номер отношения}

С золотым сечением и числами Фибоначчи с давних пор связаны целые области в культуре, науке и практической деятельности человека. Известно, что многие египетские архитектурные памятники построены на основе золотой пропорции или чисел Фибоначчи. С числами 55, 89, 144 связаны не только внешние пропорции пирамид, но и внутренние — в залах фараона для пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина. У древних греков все сколько-нибудь крупные архитектурные сооружения (храмы, стадионы, амфитеатры) построены так, что в них многообразно представлена золотая пропорция. Фригийские гробницы и античный Парфенон, театры в Эпидавре и Диониса в Афинах — яркие образцы зодчества, исполненные золотой гармонией. Можно сказать, что если в Древнем Египте закон золотого деления использовался не всегда, то в Древней Греции — постоянно. В средние века интерес к золотому сечению пропал, и свойства замечательной пропорции были практически забыты.

Влечение к золотому отношению резко возросло в эпоху Ренессанса. Известный ученый-монах францисканского ордена Лука Пачиоли ди Борго посвятил тому книгу «Божественная пропорция» (1509 г.), где излагались 12 свойств пропорции. Раскрывая это универсальное отношение в природе и искусстве как признак совершенной красоты, он называл пропорцию «божественной» и склонен был считать её «орудием мышления», «эстетическим законом», «принципом мира и природы». Книга сопровождалась прекрасными иллюстрациями Леонардо да Винчи, который закрепил за пропорцией название «золотое сечение» (sectio aurea). Вслед за Л.Пачиоли великий И.Кеплер не менее восторженно говорил о сечении. Он писал: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а другое — деление отрезка в среднем и крайнем отношении... Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень». Имеются свидетельства, что И.Кеплер одним из первых обратил внимание на проявления золотого сечения в ботанике. Особенно большой интерес к пропорции проявили ученые, зодчие и художники XV-XVIвв. Её широко применяли в геометрии, искусстве и особенно в архитектуре. В произведениях Браманте, Леонардо да Винчи, Рафаэля, Джорджоне, Тициана, Микеланджело проявляется строгая размеренность и гармоничность сюжета, подчиняющаяся именно «золотой середине». Знаменитые итальянские мастера Страдивариус, Амати использовали геометрию пентаграммы и золотое правило в очертаниях своих скрипок. Шедеврами древнерусской архитектуры являются церковь Покрова на Нерли (XII в.), собор Василия Блаженного (XVI в.), церковь Вознесения села Коломенское под Москвой (XVI в.) — в формах этих сооружений также использованы элементы золотого сечения.

После эпохи Ренессанса интерес к золотой пропорции на значительное время опять прервался, и в течение более 200 лет она была предана забвению. Лишь во второй половине XIX — начале XXв. появились исследования, в которых золотое сечение впервые было установлено во многих явлениях биологического свойства. Видное место здесь занимают труды немецкого ученого А.Цейзинга, который рассматривал золотое отношение как основной морфологический закон в природе и искусстве, проявленный в пропорциях фигуры человека и в телах красивых животных. Немецким учёным XIXв. Г.Т.Фехнером была обнаружена связь между психофизическим восприятием человека и «золотыми» формами предметов. Критик искусства первой половины XXв. Т.Кук уделял большое внимание изучению важной роли логарифмической спирали, особенно «золотой», в растительных и животных объектах, в феномене роста. О значении пропорции писали и другие зарубежные учёные того времени — Г.Тимеринг, Г.Д.Грим и М.Гика, которые приводили многочисленные примеры золотой гармонии в явлениях природы и различных прикладных искусствах.

^{Церковь Вознесения в селе Коломенском}

Интересные исследования по использованию золотой пропорции в музыке, живописи и поэзии были проведены в России и СССР — Э.К.Розеновым, Л.Сабанеевым, Г.В.Церетели, М.А.Марутаевым, Н.А.Васютинским. Выдающийся режиссер С.М.Эйзенштейн сознательно использовал золотое сечение при структурном построении фильма «Броненосец Потемкин», а также при формировании отдельных кульминационных кадров. Академик Б.А.Рыбаков считает, что во многих архитектурных шедеврах далекого прошлого золотое отношение проявляется по антропологическим признакам, ведь золотая пропорция четко прослеживается в строении тела человека. Выявлена связь старинных мер длины («локтя», «ступни», различных «саженей» и т.д.) с золотым сечением. Выдающийся французский архитектор Ле Корбюзье положил принцип «золота» в основу своей теории гармонизации при строительстве системы «Модулор»; в ней мастер объединил существующие представления о пропорциях человеческого тела и золотой пропорции.

Во второй половине XX столетия интерес к проблеме золотого отношения резко возрос. В СССР были опубликованы работы, относящиеся к разнообразным областям науки — по поиску экстремумов «унимодальных» функций, математическому описанию принципов оптимизации живых систем, по организации Солнечной системы, теории развития этнических структур, лечению некоторых заболеваний человека, по экономике. Н.Н.Воробьев показал связь золотого сечения с теорией возвратных рядов, комбинаторной математикой, теорией чисел, геометрией, теорией поисков. Настоящий взрыв исследований в нашей стране приходится на последние 15-20 лет. В эти годы в СССР и странах СНГ появились исследования, в которых золотая пропорция и её закономерности использованы как своеобразный методологический принцип, лежащий в основе анализа технических и природных систем, их структурной гармонии.

Украинский ученый А.П.Стахов развивает направление по приложению так называемых обобщенных золотых сечений и р-чисел Фибоначчи к решению задач математической теории измерений и использованию нетрадиционных методов в теории кодирования информации. Значительный интерес был проявлен в философской науке: белорусский ученый Э.М.Сороко возвел обобщённые золотые пропорции в ранг «закона структурной гармонии систем» (золотые сечения по отношению к нормированию противоположностей к единице образуют своего рода интерференционную решётку, состоящую из «узлов» и «пучностей»; «узлы» представляют собой зоны устойчивости, следовательно, и гармонии самоорганизующихся систем, а «пучности» — зоны неустойчивости, дисгармонии). И.Н.Степанов обнаружил проявления золотого сечения и чисел Фибоначчи в структуре почвенного покрова, вещественного состава почв и их продуктивности; М.С.Радюк — при изучении скорости осаждения внутриклеточных составляющих — хлоропластов у высших растений (в результате лабораторной деструктуризации клеток); И.А.Рыбин — в явлениях сенсорной сферы человека; В.И.Коробко — в деятельности организма человека (его физиологических ритмах, параметрах «вхождения» в окружающую среду); П.Ф.Шапоренко и В.А.Лужецкий — в соразмерности частей тела человека (связь с обобщенными золотыми р-пропорциями). О.Я.Боднар установил закон преобразования спиральных симметрий, раскрывающий механизм роста и формирования в живой природе. В.В.Очинский исследовал музыкальную гамму с позиций золотого сечения. Композитор М.А.Марутаев на основе качественной симметрии показал связь числа Ф с числом 137 (безразмерное число 137 выводится из фундаментальных констант природы — заряда электрона, постоянной Планка и скорости света и связано с целостностью мироздания)¹.

Золотое отношение и числа Фибоначчи с давних пор привлекали внимание биологов. Поворотная симметрия пятого порядка часто встречается в живой природе (морские звёзды, цветы). Такая симметрия свойственна икосаэдру, гранями которого являются 20 равносторонних треугольников. А.Г.Волохонский нашел соответствие общей структуры генетического кода и икосаэдра. Английский биохимик Дж.Кендрю показал, что пространственная конфигурация молекулы миоглобина имеет форму икосаэдра (вирусы, состоящие из РНК и белка, — правильные икосаэдры). Связь между симметрией, золотым сечением и числами Фибоначчи может быть представлена на ряде «живых» спиралей: применяемая в ботанике для описания винтового расположения листьев на побеге последовательность дробей 1/2,1/3,2/5,3/8,5/13,8/21,13/34,21/55... стремится к пределу 0,382=1/Ф² и фактически описывает последовательность видов винтовых осей симметрии. Аналогично, последовательность дробей 1/1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,21/34..., применяемая в ботанике для описания спирального расположения семян в головках подсолнечника или чешуи в шишках сосновых, тоже составлена из чисел Фибоначчи и стремится к значению 0,618=1/Ф. Соответствующие спирали — логарифмические — являются одной из наиболее фундаментальных форм развития многих естественных систем, обнаруженных в галактиках, раковинах моллюсков, рогах млекопитающих, в полипептидных (белковых) цепях нуклеиновых кислот, в расположении лепестков у цветов. Подобный листорасположению вид симметрии обнаружен А.Фрей-Висслингом для следования аминокислотных остатков в спиралях полипептидов у различных молекулярных цепей (11/3, 18/5, 29/8, 47/13); эти отношения задают углы расхождения аминокислотных остатков, как и углам расхождения листьев растений; отношения образуют ряд, в котором знаменатели составлены числами Фибоначчи, а числители — производным рядом Люка.

А.В.Жирмунский и В.И.Кузьмин, анализируя критические уровни в развитии биологических систем (зачатие, рождение, половая зрелость, смерть), установили, что отношение некоторых важнейших параметров на соседних уровнях характеризуется числом е^е=15,15... С точки зрения преобразований качественной симметрии, разработанной М.А.Марутаевым, это безусловное следствие действия принципа золотого отношения. В результате число е^е служит инвариантом преобразований важнейших параметров в процессе развития организма.

Отдельные особые числа и отношения способны выражать не только количественную, но и качественную стороны организации как природных систем, так и систем, рожденных творчеством человека. Золотая пропорция является своего рода «технологическим рецептом» для создания шедевров природы и в человеческой деятельности. Однако и в наши дни для большинства исследователей «присутствие» золотого сечения и чисел Фибоначчи во многих явлениях живой и косной природы все еще представляется загадочным. В какой-то мере этот покров таинственности удалось снять в результате проведённого исследования деятельности сердца человека и млекопитающих. В книгах автора данной статьи «Системная организация деятельности сердца млекопитающих» (1993 г.) и «Сердце, золотое сечение и симметрия» (1997г.) впервые представлено множество «золотых» сердечных структур и показана регулирующая роль золотого сечения в оптимальной деятельности сердца.

Работа сердца как насоса обусловлена периодической сменой противоположных состояний сердечной мышцы — напряжения (систолы) и расслабления (диастолы). Исходя из этих противоположностей, можно «сконструировать» ряд структур сердечного цикла (ССЦ) по отношению к тому или иному параметру деятельности сердца (например, временная, механическая, объёмная, кровотоковая ССЦ). Временная ССЦ включает в себя длительности систолы и диастолы, механическая ССЦ — доли среднего давления в аорте при систоле и диастоле, объёмная ССЦ — объёмы изгнанной и оставшейся крови в левом желудочке, кровотоковая ССЦ — количество крови, протёкшей через миокард за систолу и диастору. Было установлено, что для всякого вида животных существует своя частота сердечного ритма (в покое), при которой отношение систолических и диастолических частей этих ССЦ соответствует золотому сечению. Именно при таком, «золотом», соотношении противоположностей в структурах сердечного цикла имеет место самый экономичный, «золотой», режим деятельности сердца.

^{Рис. 3, Кривая давления в аорте; v — частота сердцебиений; p(v,t) — мгновенная величина давления, Р (v) — максимальное давление, Pmin(v) — минимальное давление, ΔP(v) — пульсовое давление при частоте v}

Если рассматривать противоположности в сердечном цикле, то очевидно, что систола является доминирующей. Отметим, что систолическую долю всякой ССЦ тоже можно представить как совокупность внутренних противоположностей. Разбиение систолической части на противоположности происходит также по золотому правилу и представимо числами Фибоначчи! Например, систолическую долю временной ССЦ можно разбить по точкам качественного перехода сердечной мышцы из одного состояния напряжения в другое (асинхронное и синхронное напряжение при постоянной длине мышечных волокон; напряжение при постоянной длине и сокращении мышцы). Соотношения между этими временными интервалами соответствуют числам Фибоначчи, что сохраняется не только в покое, но и при любой физической нагрузке. Аналогично сохраняется золотая пропорция между верхним, нижним и пульсовым давлениями в аорте (рис.3). Так, благодаря наличию золотых чисел, сердце человека и млекопитающих и в покое, и при физической нагрузке исполняет свою функцию оптимальным, наиболее эффективным образом.

Было показано, что «объемная» картина наполнения и опорожнения предсердий и желудочков сердца млекопитающих, представленная по принципу противоположностей в этих процессах, неизменно связана с золотой пропорцией. Это означает, что в точках качественного перехода (при наполнении и опорожнении камер сердца) имеет место своего рода эстафета золотых сечений, образующих единый «золотой» процесс.

Установлено, что и в мышечных системах сердца, и в элементах системы кровоснабжения миокарда за каждым золотым сечением неизменно скрывается максимально возможная экономия «строительного» вещества (мышечной массы, крови и сосудистого материала) и энергии, необходимой для функционирования. Так что внутренняя симметрия сердечных систем и их максимальная эффективность соединяются через золотую пропорцию! Очевидна взаимосвязь между золотым сечением и энергетической оптимальностью «золотых» структур.

Идея оптимальности в науке не нова. Еще в XVIII веке великий математик Л.Эйлер развил и сформулировал принцип наименьшего действия в механике. Феномен экономии энергии давно привлекает внимание учёных. С минимальным расходом энергии связаны известные в механике и физике принципы Мопертьюи, Остроградского — Гаусса, Гамильтона. Оказалось, что все основные уравнения движения систем, которыми оперирует физика (законы Ньютона, Максвелла, Шрёдингера), определяют траектории, являющиеся экстремалями (предельными случаями) некоторых функционалов. Можно сделать вывод о связи между общим стремлением косной природы минимизировать расход энергии при движении систем и минимизацией затрат энергии и строительного материала в живых системах. В настоящее время уже сложилось понимание того, что принцип оптимальности является системным феноменом и в биологии, поскольку живые системы в своей эволюции отражают общую тенденцию природы экономить энергию.

На основе анализа организации сердечных систем различной сложности нами были выдвинуты принципы оптимальности. Всякая система сердца исполняет свою функцию с минимальной «ценой», то есть при минимальных затратах энергии и живого вещества, используемых для своего строительства. Этот феномен получил название принципа максимальной экономии энергии. Вхождение каждой из этих систем, наряду с другими, в более сложную всегда происходит так, чтобы новая сердечная система функционировала с минимально возможными затратами энергии и вещества. Этот феномен относится к системам сердца любой сложности, и назван нами принципом оптимального вхождения. Оптимизация вхождения живой системы наравне с другими имеет место и на уровне субклеточной структуры, и на уровне клетки, ткани, органа и т.д. В рассмотренных последовательностях функционально связанных сердечных систем возрастающей сложности неизменно просматривается оптимальность вхождения «простой» системы в более сложную. Этим самым отрицается эволюционная случайность организации живых систем. Даже в тех случаях, когда необходимо найти решение, исходя из двух и более противоречивых условий, природа всегда находит компромисс, оптимальный по отношению к затратам энергии и живого вещества. И принципы оптимальности так или иначе связаны с золотым отношением и числами Фибоначчи! По принципу «золотого» оптимального вхождения в живые системы включены не только менее сложные живые, но и косные системы, например кислород вдыхаемого воздуха и вода. Золотые числа тем самым позволяют установить наиболее эффективную связь между живыми и «неживыми» системами. Несомненно, что природа избрала «золотую» гармонию как один из важнейших, если не самый главный, «рецепт» целесообразного включения менее организованных живых систем в более сложные².

Экономия энергии и вещества в структурах живых систем в конечном счёте сводится к экономии пищи, являющейся источником энергии и живого строительного материала. Анализ организации сердца и крови млекопитающих показывает, что природа в ходе длительной эволюции создаёт такие системы, в которых энергопищевая зависимость организма от окружающей среды должна быть сведена к минимуму³. Оптимизация всей «конструкции» позволяет организму адекватно исполнять свою функцию при минимально возможном расходе ресурсов внешней среды. Можно сказать, что «слепая» природа указывает человечеству единственно возможный путь к спасению — обеспечение его насущных нужд эффективными «технологиями», в максимальной степени сберегающими энергию и вещество и в минимальной степени повреждающими окружающую среду.

Сложность неотделима от простоты, ибо природа, по выражению Ньютона, проста и не роскошествует излишними причинами. Классическое золотое сечение демонстрирует некую великую «простоту» природы в ясно выражаемой форме: одновременно это и симметрия подобия противоположностей в живой системе, и их оптимальное соотношение. Именно эта пропорция наряду с другими «обобщёнными» золотыми отношениями составляет основу существования устойчивых, стабильных систем. В том и заключается, по-видимому, целесообразность, красота организации систем живой и косной природы.

«Принцип золотой середины указывает на возможность равновесия между вечным и временным» (Б.Абрамов «Грани Агни Йоги», m.VIII)