Дельфис

По дороге к фракталам

С появлением в начале 80-х гг. и быстрым последующим развитием концепции «раздувающейся Вселенной» (Гута—Линде [1]) господствовавшее в канонической релятивистской модели представление о конечности и однородности Вселенной вновь, уже не в первый раз, уходит в прошлое. Вселенная в наших представлениях с невообразимой скоростью «увеличивается», становится предельно неоднородной, бесконечно разнообразной и весьма нетривиально фрактально-структурной. Наша привычная, «слишком простая» и даже несколько скучноватая фридмановско-хаббловская релятивистская расширяющаяся обитель, поперечником какие-то (!) 10 — 20 млрд. световых лет, оказывается ничтожно малым уголком Большой Вселенной, где таких, как наша (и других!) вселенных — бесчисленное множество; границы ее откатываются настолько далеко, что единственной подходящей характеристикой их положения оказывается, как у Демокрита или у Бруно, слово «бесконечность».

Эта революция в наших представлениях о Вселенной по масштабам никак не меньше, чем изменение модели аристотелевой конечной Вселенной на бесконечную Вселенную Бруно-Ньютона. Эта новейшая революция в космологии еще не завершена, а горизонты Новой Бесконечной Вселенной теряются в загадочной дымке.

Нам трудно представить вселенные с другими фундаментальными законами физики, с другой топологией, с другим (тем более нецелым) числом измерений пространства (и тем более времени!). Но «Вселенная в целом вовсе не обязана обладать теми же свойствами, что и видимая нами ее часть» (Р.Толмен). «За грохотом залпов и дымом пушек» этих великих пертурбаций в космологии, в картине мира оказываются менее заметными другие крупномасштабные и заслуживающие специального исследования события. Это и чреватая новыми революционными неожиданностями бурная история «всем известных», но, похоже, так никем пока толком не понятых «черных дыр». Это и проблема, от характера будущего решения которой зависит ответ на вопрос: что — или кто! — и как «командует» нашей Вселенной — «бездушные» законы Природы, Сверхмогучий Сверхразум, например, «цивилизация» IV (или XXIV-ro) класса по Кардашеву¹, или кто-то, называемый Богом. А ведь наука (физика) до сих пор еще так и не разобралась даже с такими старыми (от того века), мрачными, но по сути простыми проблемами, как возможность (или невозможность) так называемой тепловой смерти Вселенной.

За всеми прошлыми и настоящими революционными переворотами в научной картине мира, за подчас вековыми мучительными и туманными проблемами, а отчасти — и сияющими перспективами, остается недооцененным еще одно весьма достойное внимания кардинальное преобразование в астрономической картине мира. Речь идет о развертывающемся в последние пару десятков лет совершенно новом и весьма неожиданном аспекте Мира. Вселенная оказалась насквозь «нецеломерной», фрактальной, она повсюду состоит из фрактальных систем, в ней протекают процессы иерархически структурированные, с «самоподобием» на всех этажах своего устройства. Для нас — это откровение не меньшего масштаба, чем открытие чрезвычайной нестационарности Вселенной на самых различных ее уровнях² — от мира планеты Земля до комет и астероидов, от рождающихся и взрывающихся звезд и бурно эволюционирующих звездных комплексов (объединений молодых звезд) — до квазаров, сияющих подобно сотне галактик, и до всей нашей Вселенной, в немыслимом темпе раздувающейся до «почти бесконечных» размеров.

Дело в том, что именно в последние полтора-два десятка лет мы с удивлением осознали, что живем в Мире, где нас со всех сторон окружают объекты и системы дробной размерности [2]. Это крайне непривычно. И в жизни, и в науке мы до сих пор встречали, как нам казалось, лишь объекты очень небольшого набора целочисленной, притом невысокой, размерности: точки (размерность 0),"линии (1), поверхности (2), тела (3). Минимальное количественное расширение этого набора в физике произошло хотя и давно, но все же уже в этом веке, когда Г.Минковский в 1908 г. предложил четырехмерную трактовку теории относительности³. Позже, в 20-х гг., появились модели с пятью измерениями (Т.Калуца, О.Клейн, Ю.Б.Румер и др.). В развитие этой линии уже относительно недавно в теории возникли 10- и 11-мерные физические пространства, а затем дело дошло и до варианта 506 измерений! Впрочем, в подчеркиваемом формально-математическом смысле, физики уже во второй половине прошлого века, во времена Больцмана и Гиббса, оперировали с фазовыми (математическими) пространствами размерности порядка 1023 (число Авогадро). Математики же, люди перед Природой куда менее ответственные, чем физики или астрономы, гораздо раньше тех же физиков обжились в многомерных пространствах, а с легкой руки великого математика Давида Гильберта, — и в «бесконечномерных».

Однако, в смысле целочисленности и дискретности, сколь угодно большое натуральное число N тождественно 1 или даже 0. ...И вот мы узнаем, что живем во Вселенной, на каждом шагу, на всех уровнях масштабов заполненной объектами, структурами, системами дробной размерности! Перечислим хотя бы некоторые направления «фрактальных прорывов» в современной науке. Модель динамического хаоса (тоже, кстати, фрагмент новой грани научной картины мира) и турбулентность (в воде, атмосфере и в Космосе⁴; модели эрозии почвы и сейсмических явлений, организация полимеров и коллоидов, фликкер-шум и химические реакции, флуктуации температуры и плотности, морфология планет и спутников, облаков и горных хребтов; «блуждание пьяницы» и вероятность выживания, модель Изинга в теории кристаллов и «странный аттрактор»; солнечные пятна и «скрытая» масса галактик; структура речных систем и береговая линия моря; электропробой диэлектриков и растрескивание при разрушении; «дьявольская лестница» и теория конечных автоматов; фрагментация протогалактической среды и пыль у звезд типа R Северной Короны; множественное рождение частиц и совокупность ресничек на стенках кишечника; кластеризация во Вселенной и динамика экситонов; переменные звезды и структура рентгеновского источника Геркулес Х-1... (Автор сам не очень понимает некоторые из этих терминов — так широка проблема).

^{Рис. 1. Фрактальный рост. Отложение цинка при электролизе}

 

^{Рис. 2. Фрактальная структура (Фигура Лихтенберга при электрическом разряде)}

Как видим, действительно «природа очень любит фрактальные формы» [3]. «Ученые с немалым удивлением и восторгом» <...> уясняют для себя, что многие и многие формы, которые они до сих пор вынуждены были характеризовать как зернистые, гидроподобные, похожие на морские водоросли, странные, запутанные, ветвистые, ворсистые, морщинистые и т.п., отныне могут изучаться и описываться в строгих количественных терминах <...>. Фрактальные множества, считавшиеся до сих пор чем-то исключительным, <...> в некотором смысле должны стать правилом» (Б. Мандельброт [4]). Но чтобы увидеть это, должен был найтись такой Мандельброт (или другой «мальчик», заметивший, что король-то голый!). А до этого мы — вслед за нашими интеллектуальными и научными лидерами — столетиями в упор не видели самого очевидного. Когда же, вслед за «пионером», прозревают остальные, картина мира резко изменяется, перестраивается, и ранее невозможное оказывается очевидным.

^{Н.К.Эсхер (Эшер). «Завихрения»}

Уточним, что дробная размерность (у линии, например) возникает в тех случаях, когда эта линия в пределе «почти сплошь», но все же «не совсем», заполняет какую-то поверхность. На математическом языке ее так называемая размерность Хаусдорфа—Безиковича тогда больше привычной топологической. Заметим, кстати, что размерность линии, превосходящая 1, при этом не обязательно будет дробной (размерность плоской броуновской траектории равна 2). Видимо, мыслима и размерность линии в трехмерном объеме, превосходящая двойку. Вообще же разнообразие здесь велико, и в ряде случаев размерность «предельного объекта» может быть оценена лишь приближенно (численно как итог компьютерного моделирования предельного процесса). В некоторых же объектах она элегантно выражается аналитически. Так, размерность Хаусдорфа—Безиковича знаменитого канторова множества («остаток» от процедуры: из отрезка вырезаем среднюю треть, из оставшихся двух отрезков — тоже, и т.д. до бесконечности) выражается в конечном виде числом ln2/ln3 ~ 0,631⁵.

Математический смысл фрактальности довольно абстрактен, и здесь, пожалуй, не стоит пытаться определить фрактал во всей его математической строгости и сложности. Однако геометрический смысл фрактальности весьма нагляден и прост. Это, схематизируя, бесконечная — вверх и вниз — пирамида единообразно (на один и тот же множитель) изменяющихся ступеней. Такая лестница масштабов может быть и не откровенно иерархическо-геометрической, а скрытой во временном поведении системы.

Например, совокупность броуновских частиц в каждый момент представляется предельно хаотичной. Но траектория броуновского движения (каждой частицы) в идеале (если не подойти слишком близко к характерной величине размера атомов и расстояний между ними) выглядит совершенно одинаково при любом масштабе («увеличении микроскопа»).

Масштабная инвариантность, или самоподобие, фрактальной структуры является ее характернейшим свойством. Она может проявляться бесконечно разнообразно. Любопытно, что именно через это свойство фракталы (не называя их так, естественно), значительно раньше их первооткрывателя Мандельброта увидел талантливый голландский художник с острым взглядом — М.К.Эсхер (1902—1972) (иногда, в более ранней и менее точной транскрипции — Эшер).

Физический смысл объекта-фрактала также довольно нагляден. Это структура пространственно-иерархического типа, со все меньшим (при удалении от некоторого центра), но убывающим строго закономерно, единообразно, заполнением объема⁶. Выразительный пример — крона «зимнего дерева», без листьев. На эволюционно-биологическом уровне аналог — эволюционное древо жизни Земли, а в еще более общем плане — Мировое Древо ряда религиозных космологии.

Открытие фракталов

Смотрите, как повсюду окружают нас непонятные факты, как лезут в глаза, кричат в уши, но мы не видим и не слышим, какие большие открытия таятся в их смутных очертаниях.

И.А.Ефремов

Осознание фрактальности мира, как почти все крупнейшие обобщения в науке, началось с весьма частного вопроса — с мысленного опыта американского математика Бенуа Мандельброта: длина участка береговой линии между двумя городами оказалась зависящей от того, как ее измерять, то есть от «длины линейки». Можно сказать, что это заранее очевидно и тривиально. Но те, кто так рассуждали и на этом останавливались в бесконечном множестве «аналогичных случаев» до Мандельброта, и не заметили, не открыли фрактальность Вселенной! «Истина бывает часто настолько проста, что в нее не верят» (Ф.Левольд). Мандельброт, между тем, вышел за рамки старой научной картины мира, в которой не было места для фракталов. Впрочем, у математиков, знакомых с хаусдорфовской размерностью еще с 1919 г., какие-то подозрения дробные размерности вызывали, хотя бы для исключительно экзотических математических объектов [5]. Но к этим разговорам долго не прислушивались, даже некоторое время и после провозглашения Мандельбротом его открытия. Нобелевская премия по физике Кеннету Вилсону за работу, в которой прямо использовались представления о модели физической системы с дробной размерностью, не особенно изменила положение.

Но час пробил! Наша Вселенная «изменилась» — она «стала» фрактальной⁷. А точнее, барьер в догматическом сознании научного сообщества был-таки преодолен. В итоге необратимо изменилась наша картина мира, в том числе — и астрономическая. Несомненно, какие бы с нею дальше ни происходили изменения, какие бы ни совершались научные революции, аспект фрактальности навсегда вошел в ее «твердое ядро» принципов-постулатов и не будет изъят ни при какой ревизии [6]. «...Патологические структуры, которые были изобретены математиками, желавшими оторваться от свойственного XDC веку натурализма, оказались основой множества хорошо знакомых, повсюду нас окружающих объектов», — констатировал выдающийся физик XX века Фримен Дайсон [4].

Концепция «раздувания» в космологии и фрактальность пространства Вселенной?

В отличие от устойчивости, неустойчивость устойчива.

В. И. Арнольд

Все упоминавшиеся системы, сколь ни много их вокруг нас, от микромира до Метагалактики, — все эти материальные объекты, — находящиеся в трехмерном (пусть искривленном) пространстве, имеют фрактальную структуру, или же дробную размерность. А мыслимо ли, и какой смысл могло бы иметь само пространство такой дробной размерности? Или, в еще более общем случае, — комплексной дробной размерности? Лично меня этот вопрос интересует где-то с начала 50-х гг. Очень многозначительным представляется то, что буквально в последние годы появился (в теории) первый объект, в отношении которого можно думать, что он обладает именно пространством фрактальной структуры и, возможно, дробной размерности. История науки показывает, насколько принципиальным оказывается почти всегда такой первый шаг, открывая новую область явлений, хотя по единственному, уникальному объекту не удавалось, естественно, установить ни меру типичности, ни степень нетривиальности нового объекта. Вспомним из истории астрономии открытие первого кольца у планеты, первой периодической кометы, первого астероида, первого квазара и т.д.

Вернемся, однако, к нашему, по самой своей сути уникальному и единственному известному (да и то пока гипотетически) объекту с фрактальной размерностью пространства во Вселенной. Этот объект — сама Большая Вселенная в модели хаотического раздувания Линде [1]. Фрактальную природу и структуру эта модель имеет «по построению», в силу стохастического (по законам случая) ветвления процесса раздувания в пространстве и времени⁸.

^{Композиция из фрактальных множеств Мандельброта}

Первые попытки численного моделирования подобного явления были проведены самим А.Д.Линде, и его приоритетные результаты сообщены в докладе «Фрактальная Вселенная» в ГАИШ еще 19 июня 1991 г. Имеющиеся последующие оценки пока не позволяют количественно указать размерность пространства стохастически раздувающейся Вселенной. Процесс этот «стабильно неустойчив». Размерность такой модели Вселенной может оказаться и не обязательно дробной (подобно тому, как целочисленной, но более высокой, чем у обычной линии, оказывается размерность броуновской траектории — см. выше). Через несколько лет после пионерской работы Линде фрактальность в космологии — нецелочисленность (с изменением — от нормальной тройки в лаборатории до двойки на космологическом горизонте) заподозрила А.Д.Попова (ГАИШ) в цикле работ 90-х гг. Собственный оригинальный подход к этой проблеме развивает известный специалист по общей теории относительности (ОТО) и релятивистской космологии Р.Ф.Полищук. Правда, еще несколькими годами ранее группа итальянских астрофизиков (А.Грасси и др.) на основе отклонений спектра реликтового излучения от закона Планка сделала предварительный вывод, что возможное значение фрактальной размерности (D) пространства Метагалактики ограничивается соотношением:

|D - 3| < 0,02...

По существу, проблема фрактальной размерности пространства Метагалактики лишь начинает входить в науку, и различные исследователи только еще нащупывают варианты существующих здесь возможностей. Какой же окажется размерность нашей (локальной) и, далее, «Большой Вселенной» в конце концов? «Пи»(π)? «Восемь с половиной»? Или 506¹⁰? Вопрос пока, насколько мне известно, открыт. Тем более, остается неясной проблема смысла и физической реализации во Вселенной комплексной (в частном случае — чисто мнимой) размерности пространства. И, пожалуй, совершенно не в наших силах представить себе, что могла бы значить дробная размерность (да еще комплексная) космологического времени! Впрочем, вспомним слова Л.Д.Ландау о том, что мы, если надо, можем понять даже то, что не можем представить!⁹

Фрактальная математика для фрактальной Вселенной

Нельзя избавиться от ощущения, что математические формулы живут независимой жизнью, что они умнее своих изобретателей, что мы получаем из них больше, чем в них было в свое время вложено.

Генрих Герц

В математическом плане фрактальный подход отождествляется пока что почти исключительно с фрактальной геометрией. Это было заложено еще в основополагающих трудах Мандельброта, и ситуация не изменилась за два десятилетия интенсивного развития концепции фракталов. Геометрические изображения фракталов к тому же иногда весьма впечатляющи, а подчас и потрясающе красивы, бесконечно разнообразны и чрезвычайно эвристичны [7]. Кстати, эта красота — один из эмпирически и эвристически надежных критериев фундаментальности фракталов как объектов Природы, Космоса [8]. Компьютеры же, способные наглядно демонстрировать фрактальные геометрические объекты, открывают исследователям пока практически единственный путь в мир фракталов [4], [9]¹⁰. (Вспомним здесь упомянутые выше яркие провидения художника Эсхера, первым увидевшего фрактальный мир).

Однако, сколь ни впечатляющи успехи компьютерной математики, обобщающая мощь аналитического подхода в самой математике, в физике, астрономии и в других науках не должна недооцениваться. Бесконечный спектр качественных возможностей, заложенный в единой аналитической формуле, алгоритме, — законе, в конце концов! — очевидно, не вскроет никакой компьютер. Да и саму формулу «закона природы» компьютеры открывать не умеют. Наиболее перспективно сочетание этих двух математических подходов.

Фракталы, по общему признанию специалистов, — пока самый результативный (если не единственно эффективный, а то и единственно возможный) путь к проникновению в «законы хаоса»(!). Сам Мандельброт подчеркивал, что здесь речь идет именно об «изучении порядка в хаосе». В частности, фрактальными оказываются фундаментальные свойства выходящих ныне на первый план как в математике, так и в физике «странных аттракторов»¹¹. Топология их, похоже, из всех современных методов математики под силу лишь фрактальному подходу. Между тем, нередки утверждения, что до сих пор эта область математики не имеет адекватного аппарата в традиционной математике. Такая позиция отражает то, что «фрактальная геометрия» и компьютерные исследования фракталов недостаточны на новом пути познания Мира.

Правомерен вопрос: а не может ли быть создан соответствующий математический (аналитический) аппарат, по мощи и общности аналогичный дифференциальному и интегральному исчислениям, который «обслуживал» бы фрактальный аспект исследования Вселенной средствами не геометрии, а математического анализа? Когда меня очень давно осенила эта идея, «...я был уже в достаточной мере физиком, чтобы не сказать: "Ну, нет, этого не может быть..."» (Ф.Дайсон).

Говоря откровенно, я задаю сей вопрос чисто риторически (и даже в расчете на весьма вероятную недостаточную здесь информированность большинства читателей). Все дело в том, что такой аппарат уже давно существует, но незаслуженно мало известен. Основы его созданы (точнее, завершены) почти полтораста лет назад (!), в лучших традициях математики, заблаговременно готовящей для физики, астрономии и других наук математические понятия, методы, алгоритмы и целые исчисления. Вспомним аполлониеву теорию конических сечений, две тысячи лет ждавшую Кеплера; тензорное исчисление Риччи и «воображаемую геометрию» Лобачевского — «заготовки» для будущей ОТО.

Мы говорим об исчислении, обобщающем (подобно дробным степеням в биноме Ньютона) операции дифференцирования и интегрирования на дробные (включая комплексные) порядки производной и, соответственно, кратности интеграла. Масштаб этого обобщения грандиозен, даже в чисто количественном плане: от математического аппарата дифференциального и интегрального исчисления, пригодного (построенного) для счетного множества значений «аргумента», т.е.положительных и отрицательных натуральных значений порядка производной (кратности интеграла), мы переходим к континуальному (непрерывному) множеству всех действительных и вообще даже комплексных чисел, включая мнимые¹².

Поставлена задача столь широкого обобщения была еще 300 лет назад самим Лейбницем. Над решением ее работали выдающиеся математики — Эйлер, Лаплас, Фурье, Лиувилль, Риман. Однако достаточно полное решение, в главных чертах, было найдено лишь во второй половине XIX в. (Первый вариант указан в 1858 г. итальянским математиком Тарди, а другой — в 1867 — 1868 гг., независимо и практически одновременно А.В.Летниковым в России и пражским математиком Л.К.Грюнвальдом.)

К сожалению, обобщение это осталось мало известным. Во всяком случае, от студентов его почему-то тщательно «хранили в секрете» в течение многих десятилетий! Непонятное пренебрежение вопросом, которым интересовались названные выше корифеи математики и который неизбежно должен был возникать хотя бы у пытливых (но не слишком эрудированных) студентов, привело к тому, что стали неизбежными попытки «изобретений велосипеда». Мне, например, известны целых три такие «изобретения» в России за полтора десятка лет в середине XX в., включая собственное [10], [11].

Главная причина более чем вековой невостребованности данного обобщения обычна и естественна: отсутствие в природе, как казалось, объектов, систем, процессов, которые требовали бы для своего понимания и описания операции дифференцирования (интегрирования) произвольного нецелого порядка (кратности), например: f⁽ⁿ⁾(х), где n — произвольно.

Стоит отметить и еще один момент. С эпохи Лейбница и до наших дней для указанного обобщения аппарата математического анализа не было предложено ни удачной символики, ни яркого и компактного термина. В наше время, после открытия фрактальности Вселенной, для соответствующего математического аппарата прямо-таки напрашивается и представляется неизбежным термин «фрактальное исчисление». Он лаконичен, емок, логичен, историчен и физичен. Мне кажется разумным остановиться именно на нем для наименования обобщения дифференциального и интегрального исчисления на дробные (включая комплексные) порядки производной и кратности интеграла.

В отличие от уже традиционного физического термина «фрактал», соответствующий математический оператор мог бы именоваться, скажем, «фракталл». Для обозначения же фракталла порядка n от функции f(z), я рискнул предложить в [12] новый символ, сочетающий стилизованные элементы знаков и интеграла, и дифференциала:

Можно предвидеть, что после осознания фрактальности Вселенной и следующей отсюда вариации картины мира, с выходом «фрактального исчисления» из незаслуженного полузабвения — актуальным окажется и требуемое обобщение дифференциальных и интегральных уравнений¹³. Могут быть введены не только «фрактальные уравнения», отличающиеся от дифференциальных и интегральных «лишь» дробностью порядка. Прецеденты этого уже имеются (Висе, 1986; Метцлер и др., 1994, — фрактальные уравнения в теории аномальной диффузии). Фрактальные уравнения могут включать и такие, где, скажем, неизвестной искомой функцией является сам переменный порядок этого уравнения. Предлагаются и такие обобщения, как введение зависимости п от координат и др. (В.Ю.Колосков). Видимо, концепция фракталов может быть связана с выдвинутой в начале 60-х гг. выдающимся французским математиком А.Гротендиком теорией топосов — пространств с топологией, меняющейся от точки к точке — и со временем (?!) [13].

Не приходится опасаться того, что «фрактальный анализ» и «фрактальные уравнения» останутся невостребованными. Не думаю, чтобы в наше время кто-нибудь повторил ошибку знаменитого астронома и физика Дж.Джинса, утверждавшего, что есть творения математиков, которые никогда не пригодятся за пределами математики. В качестве очевидного примера он приводил теорию групп, на которую ныне завязана, как утверждают специалисты, добрая половина физики! Напротив, история науки многократно подтверждала правоту замечательного математика Ш.Эрмита: «Я убежден, что самым абстрактным спекуляциям Анализа соответствуют реальные соотношения, существующие вне нас, которые когда-нибудь достигнут нашего сознания».

Чуть-чуть фрактальной математики

«Главная задача математики наших дней состоит в достижении гармонии между континуальным и дискретным, включении их в единое математическое целое» (Ф.Т.Белл). Та же задача, видимо, стоит и перед физикой. И построение исчисления, включившего дискретные (целые действительные) значения фрактального оператора как частный случай, открывает реальные перспективы серьезного продвижения в решении указанной фундаментальной математической — физической — общенаучной — философской проблемы.

^{Контрастированное фрактальное множество}

В расчете на тех читателей, которых заинтересует конкретное выражение «фракталла» — оператора «дробного дифференцирования/интегрирования», приведу вид его в форме, полученной мною в 1954 году. [10]. Как потом оказалось, выражение это (с точностью до тождественных преобразований) совпало с оператором, найденным за 96 лет до этого Тарди; а через четыре года после меня эквивалентное повторение результата Тарди было опубликовано А.В.Светлановым [11]. Опуская для простоты некоторую «дополнительную функцию», аналог произвольной аддитивной постоянной неопределенного интеграла, имеем:

⁽¹⁾

Или максимально компактно:

 ^(1а)

где Г — гамма-функция Эйлера. Для целочисленного v = n оператор при n = 0 дает просто функцию f(z); при n > 0 — производную n-го порядка от f(z), а при n<0 — n-кратный последовательный интеграл от f(z).

Вывод оператора занимал у меня полторы страницы и опирался на пару довольно рискованных шагов. Но результат оказался верен.

В наипростейшем случае, когда f = 1 , имеем:

 ⁽²⁾

При f=z^β (где β – произвольно) получим результат, «угаданный» еще Эйлером:

 ⁽³⁾

Реальны ли фракталы?

Как всегда при принципиальном шаге к новой картине мира, на пути встают (исторически необходимые!) консерваторы и скептики. В данном случае возражение их радикально. Начиная с аккуратного сомнения, скептик (в данном случае весьма проницательный теоретик) заключает: «Фракталы не являются реально существующими объектами» ([14],с.198) (Выделено мной. — Ф.Ц.)Аргументация его такова: «Если <...> данная структура фрактальна, то она сохраняется при сколь угодно малых масштабах ее рассмотрения <...>. Если процедуру формирования фрактала оборвать на любом конечном шаге <...>, полученное множество не будет фрактальным. Реальные системы <...> такого бесконечного углубления в их структуру не позволяют <...>. Реальные системы не являются фракталами в точном смысле этого термина, они могут быть только фракталоподобными».

Отсюда и делается приведенный выше, вроде бы убийственный для фракталов вывод. Однако, «в конечном счете ничто так не помогает победе истины, как сопротивление ей» (У.Чэннинг). Ведь вывод нашего критика напоминает, что по сути ни один объект теоретической науки, ни одна математическая модель природного объекта, процесса и т.д. «не являются реально существующими». Но в том трагедии нет. Ведь в действительности теоретические «точные науки» называются так. в отличие от «неточных», именно и лишь потому, что они строят и изучают точно задаваемые модели подлинных объектов, никогда не претендующие на идеальное отражение физической реальности. Исторический опыт науки показывает, что внутренне непротиворечивые модели все более адекватно представляют свойства наблюдаемых объектов, что в целом растет предсказательная сила науки.

Так и с фракталами. Да, «реальные системы не являются фракталами в точном [математическом] смысле этого термина, они могут быть только фракталоподобными». Аналогично реальная материя не является «строго континуальной», а лишь «континуально-подобной» в определенных пределах, на нескольких маршах бесконечной лестницы масштабов, или «дискретно-подобной» на других ее участках. Для приближенного описания ряда свойств и закономерностей существующих систем достаточно того, что они в каких-то конечных интервалах масштабов удовлетворительно представляются идеальной моделью фрактальной системы. В этом и состоит соотношение любых теоретических моделей с реальностью. В этом — единственно возможном и обычном во всей науке! — смысле ответ на вопрос скептика, поставленный в заголовке этого пункта, утвердителен и однозначен: да, фракталы реальны!

Фрактальная Вселенная и А.Д.Сахаров

В «сахаровском» (мемориальном) выпуске журнала «Природа» (1990, №8) у нескольких авторов воспоминаний об Андрее Дмитриевиче Сахарове затрагивается известный, но явно недостаточно исследованный эпизод из начала творческой биографии будущего великого Человека, Гражданина и Ученого. Вот как об этом пишет, например, Е.Л.Фейнберг в очерке «Контуры биографии»: «Здесь [на военном заводе в Ульяновске] началась его творческая работа [- выполнены] четыре работы по теоретической физике. Они не были опубликованы, но, как впоследствии он сам писал, они дали ему уверенность в своих силах <...>."А.Д. переслал свои работы И.Е.Тамму <...> и в январе 1945 г. был принят к нему в аспирантуру». Из очерка А.М.Яглома «Товарищ школьных лет»: «Д.И.Сахаров, отец Андрея, по приезде сына в Москву передал какую-то его научную рукопись Тамму через математика А.М.Лопшица, давнего знакомого Игоря Евгеньевича». А в письме сотрудников отдела теоретической физики им. И.Е.Тамма ФИАН СССР «Памяти Андрея Дмитриевича Сахарова» говорится: «...На оборонном заводе (1942 — начало 1945 г.) он, находясь в полном отрыве от физиков, выполнил четыре исследовательские работы небольшого масштаба (не опубликованы и пока не разысканы)» [15].

Случилось так, что я имею информацию об одной из этих работ, непосредственно от И.Е.Тамма. В начале зимы 1959—1960 г. по его приглашению мне довелось беседовать с ним у него дома. В заключение беседы, уже провожая меня, И.Е. спросил: «А что еще интересного вы сделали?» — Я сказал, что несколько лет назад, по невежеству своему потратив массу времени, повторил обобщение дифференциального и интегрального исчисления на дробные порядки производной и интеграла.

— А вы знаете академика Сахарова? — неожиданно спросил И.Е.

— Да, конечно, я знаю о нем, — ответил я.

— Так вот, — продолжал И.Е., — первая работа Сахарова, по которой я познакомился с ним, было как раз такое обобщение!

На этом мы и распрощались. Пока остается неизвестным, какой именно путь молодой Андрей Сахаров нашел для построения того, что мы в эпоху фракталов вправе назвать фрактальным исчислением. Но то, что Сахаров не только интересовался этим вопросом (почти забытым тогда в математике и ставшим актуальным в физике лишь через 30 лет), но и решил его — судя по словам И.Е.Тамма, непреложный факт. Мы можем констатировать, что по меньшей мере одна из остающихся неизвестными его первых работ была посвящена не «теоретической физике небольшого масштаба», а очень нетривиальной математике.

«Фрактальная картина мира» косвенно, через математику, видимо, интуитивно предчувствовалась А.Д.Сахаровым еще полвека назад, подобно тому, как молодые Галуа и Абель создавали теорию групп, в конечном счете, для Реальной Природы, а Н.Лобачевский на нее же примерял свою «воображаемую геометрию»...

Заключение

По существу, только начинающаяся всерьез «история фракталов» в современной науке, в нашей картине мира, помимо множества частных результатов и выводов, уже дает основание для ряда обобщающих заключений, на этом новом примере подтверждающих генеральные закономерности и тенденции развития науки — познания Вселенной.

Мы еще раз, на истории с фракталами, убеждаемся в парадоксальном характере научных революций и вообще крупных прозрений в науке, с удивлением и восторгом открываем то, что всегда видели вокруг себя, но не замечали. Фракталы-деревья растут вокруг нас. Но, вопреки пословице, до недавних дней за лесом мы не видели отдельного, всегда так или иначе фрактального дерева... Фрактальные белые облака от века плыли у нас над головами по фрактально голубому небу... На фрактальном морском бережку мудрый Аристотель, прихлебывая фрактальную простоквашу, обдумывал важные, но совсем другие проблемы, не замечая этой; а его легкомысленный соплеменник, молодой древний грек, перебрав неразведенного фрактального вина из плодов фрактального виноградного куста, заплетающимися ногами выписывал фрактальную траекторию на площади у Парфенона... А уж совсем в нашу эпоху сонмы ученых, разбредясь по фрактальным маршрутам своих лабораторий, до мозолей на фрактальных извилинах изучали кто почву земли-матушки, кто фликкер-шум в радиоприемнике, кто переменные звезды и квазары; а кто углубился «в себя», в систему своих кровеносных сосудов или даже ресничек на стенках кишечника, и т.д., но оказалось, что все они изучали «одно и то же» — Фракталы в Природе, во Вселенной!

Открытие фрактальности Мира еще раз подтвердило «поразительную эффективность математики в естественных науках» (Е.Вигнер). Очевидно, приведенные выше сетования на то, что физическая концепция фракталов якобы «не имеет адекватного аппарата в традиционной математике» (Дж.Лэн и др., 1990), все же неправомерны, и математика давно уже, с самого Лейбница, прилагала значительные усилия для «заблаговременного» обеспечения физики «фрактальным исчислением», и вот уже более чем сотню лет назад решила эту задачу. Математика и на этот раз оказывается, так сказать, «превентивной физикой»!

Да, в физической Природе не существуют ни идеальный газ, ни континуальная материя, ни фрактальные объекты с «действительно бесконечной» лестницей иерархических этажей. Но это не делает беспредметными ни дифференциальное, ни интегральное, ни фрактальное (!) исчисления, ни небесную механику, ни идеальную тепловую машину Карно, ни современную теорию фракталов.

Открытие фрактальности Вселенной распутывает гигантский клубок труднейших проблем во всех областях естествознания. Та «прореха» в картине мира, где не хватало фракталов, заполнялась, как обычно бывает, натягиванием на подобную «черную дыру» соседних элементов этой картины, что сильно деформировало полученный таким образом фрагмент изображения. Да и соседние, неестественно растягиваемые фрагменты искажались, а наши представления о Природе в уже изученных областях оказывались неадекватными, лишенными правильных связей и пропорций. Ошибки, ранее не замечавшиеся рядом и на фоне соседней Гигантской Деформации, теперь-таки получают шанс на исправление.

Какие конкретно неожиданные сдвиги и прорывы в этих соседних областях принесет установление фрактальности Вселенной — заранее сказать невозможно. Но есть уверенность, на основе всего предшествующего опыта познания Вселенной, что принесет! «Под всякой бездной раскрывается другая, еще более глубокая» (Р.У.Эмерсон). Это может быть, к примеру, и новое понимание всей фундаментальной концепции Хаоса — одного из важнейших понятий и научного, и философского, и даже религиозного мировоззрения. Здесь, как говорится, все возможно.хотя «заранее тут ничего нельзя сказать, милый Винни. И это, конечно, как раз самое интересное!» (А.Милн, из историй о Винни-Пухе).