Дельфис

Математическим естествознанием в отличие от математической физики можно назвать обширный и разносторонний опыт приложений математики – под видом кибернетики и системного анализа, по редукции нефизических наук к физико-математической идее. Это был вариант синтеза, плоды которого человечество пожинает сегодня. Экологический и гуманитарный кризисы, череда финансовых катастроф, высокая идея познания природы, обернувшаяся геологическим, климатическим, космическим, психологическим видами оружия массового уничтожения, показывают ограниченную адекватность науки.

Альтернативный, нефизический вариант синтеза – общая теория систем – имеет «контрматематический» характер, так как наиболее содержательное токование феномена системности, принадлежащее А.И.Бергу, Ю.И.Черняку и Н.Н.Моисееву состоит в том, что системе присущи, как минимум, два несводимых друг к другу математических описания [1], с.12; [2], с.3. Это явно предполагает пересмотр определяющих черт математического метода: абстракции, упрощения, категоричности интерпретации, однозначности смысла, монологического характера общения с природой. Привилегированное положение математики в образовании и системе наук оборачивается тем, что она становится главным препятствием для интегративных тенденций. Иллюзия «непостижимой эффективности математики в естественных науках» сегодня сменилась высказываниями о её научной [3] и культурной [4] инородности. Возник неожиданный ракурс известного тезиса И.Канта о математике как мериле научности – «развитие наук сдерживается развитием математики».

Потенции математики. Говорят, что выход из кризиса там же, где и вход, то есть в науке. Целостность мира и единство, или взаимообусловленность и согласованность наук, никуда не исчезали, это природное явление. Так и математика, как творение человеческого разума, наследует все его потенции связи с внешним миром. Она несёт в себе возможность развития целостного представления, вполне согласованного с другими естественными науками. Проблема лишь том, что она развивалась в рамках узких мотивов военно-технических нужд и эта – левополушарная – часть её выдавалась общим образованием за целое. Точнее, упомянутый «контрматематический» вариант синтеза имеет в математике точные формальные аналоги своих основ. Их взаимная согласованность и эмпирическая содержательность и служит перспективой для математического естествознания.

Автором в течении ряда лет разрабатывалась тема математического представления системных явлений, результаты докладывались на конференциях журнала «Дельфис» [5]. В данной статье внимание ограничено лишь синтетическими возможностями математики. Подробнее – в готовящейся к изданию книге автора [6].

Научность синтеза. Существуют скрытые проблемы научного изложения «теории единства наук», которые осложняют формальное математическое изложение в виде строк формул, уравнений, доказательств. Первая проблема порождена новизной – о синтезе говорят, но общепризнанного формального воплощения он не имеет и не входит в классификацию научных дисциплин (как, впрочем, и вся прикладная математика). Научная дифференциация обуславливает различные точки зрения, связанные со спецификой предмета, и поэтому, «теория целостности» является полицентричной, где периферия и центр, аксиома и теорема являются относительными понятиями. Вторая проблема – в том, что синтез, как природное явление, предполагает различение направлений целостности и специализации в каждой из наук, то есть введение в них новых акцентов [7], с.16, которые могут не совпадать с устоявшимися положениями. Третья проблема проистекает из несоответствия линейности, поэлементности, аналитичности формального текста и образности, параллельности, иероглифичности мира [8], с.26. Каждое понятие поэтому несёт многочисленные коннотации, нагружено синонимией и переливается в тексте различными оттенками смысла, то есть не является атомарным, как в формальных системах.

В этой ситуации одним из выходов может быть гипертекст – изложение, в котором образы были бы частью формальной системы. Восточный мистицизм даёт одну, образную, его часть – сеть Индры. Западная наука сгенерировала вторую – фрактальную геометрию природы. Во фрактальном, самоподобном, сетевом мире каждая его часть есть кристалл, отражающий всю Вселенную. Эти две смысловые координаты и представляют собой два полюса математического естествознания. Его начало можно усмотреть в (гипер)текстах по фрактальной геометрии, где многочисленные иллюстрации сопровождаются столь же развитой теорией [9], [10]. Такие формализованные образы природы сочетают в себе наглядность и абстрагирование, пространство и время, объяснение и понимание, дают возможность видеть целое при недостатке информации [11], с.642.

Изъяном гипертекстового изложения всё же является его статичность, фиксированность смысла. Кроме того, этот способ требует от читателя навыка переходов между «западным» и «восточным» состояниями [12], то есть умения думать сразу обоими полушариями мозга, быть одновременно физиком и лириком, что не поддерживается практикой научного мышления и образования.

 Фрактальная геометрия является во многом «математикой естественных форм и образов». Природа фракталов говорит не только языком треугольников, точек, линий, но и образами, ассоциациями, метафорами. Сопряжение образов с логикой является содержанием многочисленных публикации учёных разных специальностей, в том числе и представителей физико-математической науки, обобщающих факты, человеческое восприятие, историю мысли, основанные на значительно более широком «экспериментальном» материале нежели физика, включающем пространственно-временные масштабы антропологической, культурной, геологической и социальной эволюции. Помимо широко известных работ Ф.Капры «Дао Физики» (1994), «Паутина жизни» (2003), «Скрытые связи» (2004), укажем несколько [13], [14], [15], [16], [17]. Новизна этой тенденции отчётливо чувствуется на фоне «повторения ходов» – вале переизданий физико-математической литературы, который является симптомом кризиса физико-математической парадигмы [18].

Другой вариант демонстрации целостности – язык. Он несёт в себе динамику, но страдает отсутствием наглядности. Причём линейность языка здесь не годится. Адекватным является его восточная модель: посредством чжанов – единиц текста; они соединяются между собой не линейно, а представляют собой грани целого, присутствуя друг в друге [14], с.421. В предыдущих работах автор следовал этой схеме. Рамки одной статьи не позволяют прибегнуть к этому варианту, который, однако, принят за основу в книге [6].

Всё же есть способ, позволяющий с его помощью проиллюстрировать числовой вариант целостности. Мы обратимся к естественнонаучному разделу языка, к семиотике – междисциплинарной науке, которая как раз и обращена к связи языка с природой. Здесь язык встречается с математикой – для содержания понятия геометрия фрактальна. Оставаясь, таким образом, в «западном» состоянии, мы приобретём «восточные» способности восприятия. Такой путь был проделан А.Уоттсом в его известных книгах [8], [19], многие положения которых допускают точное математическое выражение. Физически мы погрузимся в поле – общую для физических и гуманитарных наук материю [15], с.118.

Изложение и восприятие синтетической идеи на языке математики подобно состоянию, которое испытывает человек, начинающий говорить на малознакомом языке: приходится излагать связность на языке, развитом для абстракции, объединять лексиконы взаимоисключающих сфер. Например, в слове «совесть» – гуманитарном аналоге фрактального самоподобия, для физико-математиков, равно как и для сугубых технарей, смысла ровно столько же, как для гуманитариев и биологов в «квадратном трёхчлене».

Апории Зенона – тест на адекватность. Причина неуспеха математического естествознания следующая. Нетрудно показать, что любая логически одномерная математическая модель – функция, уравнение, система уравнений и т.п., в силу теорем Гёделя [20], Ch.VI,VII, Лиувилля [21], с.108 и Гельмгольца [22], с. 366, – ограничена механикой деформируемого твёрдого тела. Следовательно, все математические теории, как бы они не назывались – теория вероятностей, квантовая теория, прогнозирование, математическая экономика и эконофизика, биология и биофизика, экология, компьютерные модели мышления и сознания, синергетика, социальная динамика и т.п., – изоморфны. В этом заключён естественнонаучный смысл теоремы Гёделя о неполноте: теория либо ограничена механикой, либо требует формализации не-механических явлений и поэтому – указания природного референта логического отрицания.

Вследствие этого, изложение математических методов для решения прикладных нефизических задач всегда сопровождается многочисленными оговорками на ограниченность применимости, адекватность формализации и смысла результатов [23]. Естественнонаучная инородность математики есть следствие застрявшей проблемы соответствия формальной техники внешнему миру, известной как апории Зенона. Эти апории обычно рассматриваются изолированно от проблем приложений – лишь как проблема математической логики, реже физики. Однако они аккумулируют целый букет проблем, связанных с приложениями, являясь, по сути, тестом на естественнонаучную адекватность математики. Неспособность формально отличить движение от покоя, непрерывное от дискретного, большое от малого, делимость от протяжённости, действительное от возможного, материальное от идеального, часть от целого, локальное от глобального, внутреннее от внешнего, экстенсиональное от интенсионального блокирует междисциплинарные связи, искажает социальные и хозяйственные практики [24].

Апории Зенона сводятся в известным проблемам Платона: «Единое – Многое», «покой-движение» Парменида – Гераклита [25]; [26], гл. 7, 8, 9. Вывод Платона – объект описывается двумя противоположными способами, именно, как целостный и как множественный, которые связаны отношением дополнительности [25], с. 117, то есть отрицанием, – приобрёл в литературе статус неформального решения апорий. Оно заключается в дополнении механики атомизма ан-атомией природы, то есть в необходимости формализации делимости явлений, интенсиональной степени свободы логики. Атомизм и анатомия отрицают друг друга как непрерывное и дискретное. Но в этом случае отрицание наполняется нетривиальным содержанием и становится одним из естественных процессов. В математике оно является терминальной операцией. Лишь в упомянутой теореме Гёделя оно имеет свой «гёделев» номер, то есть входит в логику и поэтому оказывается центральным понятием в её структуре, указывая на её ограниченность. Во всех остальных моделях оно полностью отсутствует.

Апории Зенона явились подводным камнем методологии прикладной математики, которая требует согласованного взаимодействия формальных теорий с методами естественных наук [27], с.18.. Прикладной математик должен иметь широкий естественнонаучный багаж знаний, то есть быть в равной мере и математиком, и инженером, биологом, геологом и т.п. [28], [29]. Суть его деятельности – в согласовании понятий математики с понятиями той дисциплины, с которой математика взаимодействует. Именно в согласовании без ущерба и искажения, а не в замене предметных понятий физическими [30]. Требуются метафоры, термины с двойным, формально-неформальным, или естественно-неестественным значением. В этом случае ландшафт математического естествознания становится сходным с береговой линией – областью взаимопроникновения суши и моря и, вообще, двух взаимодействующих сред: каждый малый участок этой переходной зоны содержит материал сразу двух сред. Поэтому его семантика двумерна, то есть апорийна, его логика есть логика дополнительности. Это означает большие проблемы с материнским для математики понятием – понятием определимости, или – однозначности и категоричности формулировок.

Фракталы, числовая асимметрия и семантика отрицания. С появлением теории фракталов у математики появилось новая, в отличие от физики, перспектива для включения её в единую картину природы, в которой апории Зенона из логических тупиков переходят в разряд связующих мостов с естествознанием. О фракталах в природе за последние годы написано много, в основном это литература эмпирического содержания. Мы ограничимся их математической интерпретацией, работающей на естествознание [5].

Точные фракталы – ненаблюдаемый антипод видимой природы, её alter ego. Они расширяют евклидово пространство координатой делимости, интенсиональности или иерархии, превращая все объекты в бинарные, экстенсивно-интенсивные образования. Тем самым пара Единое-Многое Платона и апории Зенона оказываются природными феноменами. Можно, следуя А.А.Любищеву [31], представить всю математическую теорию фракталов как линию Платона в математическом естествознании.

Видимые фракталы являются следами процессов эволюции и взаимодействия сред. Их динамический базис состоит из двух универсальных процессов, известных под различными именами во всех науках – конвергенция и дивергенция, негэнтропия и энтропия, сжатие–расширение, гомогенизация–дифференциация, уподобление–различение и др. Первый процесс рождает плотные объекты, стирая различия, второй – тонкие, порождая границы тел, частей, процессов. Каждый из них является условием существования другого, относясь к оппоненту как действительное к возможному. Равнодействующая этой конкуренции выглядит как делимая, то есть не слишком плотная и не слишком рассеянная материя – фрактал. Природа порождённая предстаёт как видимая часть природы порождающей.

 Объединяя естество различных наук, фракталы объединяют несвязанные ранее математические разделы. Слоган М.Барнсли «фракталы повсюду» [32] продолжается теоремой Банаха–Мазуркевича о типичности недифференцируемых функций, парадоксом Левенгейма–Сколема о типичности двойной интерпретации формальных систем, повсеместностью сопряжённых функторов в теории категорий, универсальностью масштабно-инвариантных сетей с соответствиями Галуа, типичностью результатов о независимости аксиом, тотальностью теоретико-информационных, языковых моделей явлений (компьютерное моделирование систем) и типичностью паранепротиворечивой логики.

Как истоки, так и свойства фракталов воспроизводятся числовой асимметрией – объединением в одной самодвойственной системе Qp двух основных числовых систем математики – вещественных R и р-адических чисел Z_p, которые можно ограничить Z₂, то есть 2-адическими, чья универсальность есть наиболее значимое из наследия кибернетики. Их общим образом является бинарное иерархическое лексикографическое дерево, которое является общим для физики, информатики, математики, языка, социальных и экономических наук. Как Мировое Древо оно сопровождает существование человека, выполняя познавательные и организующие функции.

Вещественные R и 2-адические числа Z₂ имеют тождественное алфавитное представление в виде последовательностей цифр/символов, но радикально различаются по своим свойствам. Всякое символическое изображение числа имеет двойной референт – как вещественное и как 2-адическое. Поэтому обе числовых системы существуют одновременно. Одновременно существуют их свойства, и те противоположные явления, которые они описывают.

Величины вещественного и 2-адического чисел обратно пропорциональны: большое сопряжено с малым, непрерывность – с дискретностью, сжатие – с расширением, или |х|↔|х|₂^-D где x – строка нулей и единиц, D > 0 – фрактальная размерность. Эта связь лежит в основе всех степенных законов фракталов, от материальных до психофизических.

Вещественными числами представляются материальные объекты, видимые чувственным зрением, отражающим разумом. Диадические объекты представляют собой границы тел, процессов, которые порождаются процессами бесконечного (под)разделения, членения, дифференциации, декомпозиции. Эта тонкая материя является умопостигаемой, наблюдается проникающим разумом [33].

Вещественные числа получаются из 2-адических проекцией, так же как и все материальные образования из нульмерных. Поэтому, перенося аксиоматику синтеза в тонкий мир границ, где все тела имеют фрактальную структуру, мы полагаем первичными 2-адические числа, то есть физическую «пустоту», следуя тем самым, длинному ряду интуиций и высказываний в истории человеческой мысли. Неформально, числовая асимметрия аналогична лингвистическому повороту в математике, то есть стратегии разработки моделей, которая опирается на идею «мир как текст», вместо идеи материальности. Тогда, так же как и в тексте, становится возможным без логических тупиков включение в формальную теорию парадоксов и оппозиций. Например, достаточно взять тексты по алгебре, теории чисел и математическому анализу и, узрев там две числовые системы R и Z₂, два способа измерений, два вида анализа с противоположными свойствами, постулировать их одновременное и согласованное существование. Эта внутриматематическая картина далее переносится на предмет исследования. В частности, известно исследование Ю.А.Шрейдера, направленное на уяснение основ описания биологической версии космоса как расширении физического. Им сформулированы 19 пар оппозиций, или эвристик, определяющих стратегию такого моделирования [34]. В них ясно прочитываются пары «материальное (физика)–идеальное (язык)», «внешнее (объективное)–внутреннее (субъективное)», «редукционизм–холизм», «вечное–временное», «одноуровневая реальность–многоуровневая реальность (иерархия)». Нетрудно показать, что содержанием этих пар является числовая асимметрия.

Геометрически вещественные и р-адические числа представляются двумя противоположно направленными деревьями. Эта зеркальная картина и определяет семантику отрицания в числовой асимметрии, которая оказывается согласованной со всеми её проявлениями в математике, различными видами двойственности. В природе отрицание оказывается укоренённым – два вида чисел представляют собой два облика природы.

Таким образом, числовая асимметрия в энергийном плане соответствует паре универсальных принципов инь–ян. В семантическом плане она представляет собой универсальность двойки и порождает четыре стратегии мышления/практики – аналитику, диалектику, дуализм, холизм [13].

Числовая асимметрия и язык. Естественный язык является общим для нефизических наук. В более широком плане язык является одним из звеньев цепочки взаимозависимых феноменов – мышления, естественной и социальной природы, биологических и культурных факторов, человеческого опыта [13], с. 12. Поэтому чувство языка необходимо математическому естествознанию. Оно создаёт «запас подобия модели оригиналу», перспективу для развития адекватности формального аппарата языковой реальности и, в конечном итоге, любому из нефизических разделов науки. Язык – это та субстанция и территория, где встречаются понятия математики и естествознания. Ограничимся известными положениями, связывающими язык с фрактальной геометрией природы.

Язык, вещественные и р-адические числа имеют общую алфавитную основу. Язык и математика в числовой асимметрии не имеют атомарного аксиоматического начала. Обе системы ненаблюдаемы и не детектируемы приборами.

Две метрики вещественных и р-адических чисел определяют два вида причинности – нисходящую и восходящую. Эта картина аналогична двойному смыслу языка – материализации мышления и идеализации действительности. Это, в частности, аналог асимметричного дуализма знака и двойственности описания явлений в семиотике.

 Вещественные числа получаются из р-адических проекцией, так же как и все материальные образования из нульмерных. Поэтому «материя есть сжатый язык» (Л.Витгенштейн).

В итоге получающихся два дерева – вещественных и р-адическиих чисел – являются условием существования одно другого, они связаны как действительное и возможное, непрерывное и дискретное. Эта пара формализует все известные фрактальные факты – степенные законы, ограниченную предсказуемость, материально символьное единство, иерархическое строение и т.д. Геометрия их тождественна, свойства связаны инволюционным антиизоморфизмом, то есть зеркальной наоборотностью (термин Т.П.Григорьевой), которая играет роль логического отрицания, переключает два модуса существования, сопрягает оппозиции и генерирует движение как результат борьбы противоположностей. Отрицание в модели числовой асимметрии становится расщеплённым: ¬ = (˄,˅) ; одна его компонента материализует идеальное ˄ : Z₂ → R, вторая идеализирует материальное ˅ = R → Z₂. Эта двойная соотнесённость есть основное назначение естественного языка – материализация мышления и идеализация действительности.

Каждый видимый объект V имеет два формальных образа, два способа координации – в вещественных V и в р-адических числах

Второй образ известен как тонкий, полевой. Он независим от физико-химической природы объекта. В теоретической информатике – это его вычислительная структура, домен. В функциональном анализе, двойственности Стоуна, – «стоунов» (про)образ. В физике ему соответствует поле. Все физически ненаблюдаемые объекты имеют эту общую основу [15], с.118. Этим объясняется повсеместное присутствие этого термина в науках – семантическое поле в лингвистике, морфогенетическое поле в биологии, поля сознания и информации, правовые поля в социальных науках. Это поле имеет числовую природу – Z₂. Тонкий образ и делает возможным изучение внешнего мира: язык становится частью объекта, включая его в общую сеть связей.

Сравнение числовой асимметрии с языком удобно продолжить рассмотрением аналогии энциклопедического словаря какой-либо науки с теорией хаоса и фракталов. Даже многотомный словарь, то есть состоящий из физически разделённых частей, всегда считается единым, как далеко друг от друга в физическом пространстве не находились бы отдельные его части. Точный аналог этого единства – неделимость р-адических пространств и самоподобие фракталов. Каждая часть их содержит копию целого. Множественность копий (тираж) словаря не есть множественность его целого. Существует только одно 2-адическое пространство/словарь Z₂, все остальные Z₂ есть его масштабированные копии/ издания разного размера.

Словарь состоит из слов-статей и перекрёстных ссылок. Словарные статьи есть alter ego, тонкие аналоги материальных целостностей – кластеров; перекрёстные ссылки суть траектории динамической системы смыслообразования или причинных связей. Отправляясь от одного слова, следуя перекрёстным ссылкам, можно найти и (почти) периодические орбиты, когда первое и последнее слова (почти) совпадают, и апериодические, которым не видно конца и которые часто выводят за пределы словаря в иную область, в иной, например, толковый словарь. Эта схема в точности соответствует топологическому определению хаоса. Поэтому естественный язык есть сама природа в нульмерной, то есть фрактальной, топологии. В этом его роль – важнейшего и точнейшего органа восприятия, роднящего человека с природой.

 Углубление в саму словарную статью, в варианты содержания термина, то есть изменение оттенка смысла, может привести к совершенно иной траектории ссылок. Это аналог «взмаха крыльев бабочки», меняющей погоду и вызывающего ураганы – пример чувствительности к начальным условиям в теории хаоса и фракталов. Это явление – «частичная предсказуемость» – и делает числовую систему формальным аналогом смысла. При полной случайности и тотальном, лапласовском детерминизме, смысл символической системы и естественных явлений исчезает. Поэтому логичней считать Слово, или Z₂ , а не универсальные физические константы, или R, основой природы.

Содержание словаря и любого текста не зависит от того, читаем ли мы его в поезде, самолёте, на крутящейся карусели, – оно является конформно инвариантным, физические движения не влияют на смысл. Движение по словарю определяется инверсией. Инверсия не является движением материальных тел и оживает только в нематериальных, нульмерных пространствах, таких как р-адика. Инверсия есть единственное движение, которое порождает самоподобие фракталов и реализует принцип «точка есть сжатая вселенная», «каждое в каждом». В словаре инверсия соединяет сколь угодно далеко разделённые слова. Физическое расстояние здесь всегда присутствует, но не является определяющим. Это слова, разделённые томами, которые могут находиться на разных континентах, самолётах, поездах, или быть сколь угодно близко расположенными на современных электронных носителях

На множестве слов действуют две причины – «снизу вверх» и «сверху вниз», что являются аналогами диахронии и синхронии в языке. Первое есть аналог дивергентного процесса – образования слова во времени, второе – конвергентного, одномоментного среза его значений.

Треугольник Фреге принимает вид: интенсионал есть р-адическое число, экстенсионал – соответствующее вещественное, знак – строка, определённая над двумя числовыми системами.

р-Адическая иерархия является числовым аналогом природных иерархий – от Сущности и древа Порфирия и материальных до административных, генеалогических и социальных вариантов.

Каждый фрагмент языка – слово, абзац, глава – является тонким, волновым аналогом материального образования. Любой физических предмет, частица имеет свой тонкий «стоунов» (про)образ, то есть одновременно является и волной. Тогда весь текст можно считать полем.

Язык, говоря языком объективной науки, можно представить как голограмму, вмещающую все остальные дисциплины следующим образом. Каждую науку можно закодировать строками нулей и единиц, то есть поместить её, условно говоря, в компьютер, который способен воспроизвести как расчётные методы, так и наглядный материал – карты, атласы, фотографии, которые есть законное средство естественных наук. Движение по такому тонкому образу направляется двумя причинами и порождает сворачивание–разворачивение смысла понятий, то есть включение–исключение соответствующих явлений и объектов из рамок дискуссии/изложения. Тогда голограмма примет вид:

В ней каждой науке, а в науке – явлению, ставится в соответствие её «стоунов» прообраз – Z₂. Голограмма – это открытая система, в которой есть незанятые множители, а им соответствует явление эмерджентности Z₂^??? – порождение новых свойств. Эмерджентность, как порождение нового смысла, относится к чисто языковым явлениям: хорошо известны многочисленные драмы и трагедии во всех науках, сопровождающие её возникновение. Каждый множитель антиномичен:

Левая часть – момент «теперь», точка присутствия. Любой член из правой части может стать зависимой переменной и быть перенесён в левую, а язык в правую часть. Тем самым определяющая роль языка становится очевидной.

Линия Платона – эскиз. История математической асимметрии можно проследить с Античности и даже ранее – с Востока, где она имеет вид рациональности воображения, научности мистицизма. Интереснее её события в науке Нового времени. Перечислим их кратко.

Воображаемая геометрия Н.И.Лобачевского (1836 г.), придавшая смысл отрицанию Евклида, стала классикой науки. р-Адические числа Л.Кронекера и К.Гензеля (1895 г.) были выдуманы как отрицание вещественных чисел Г.Кантора. Нефундированные множества Д.Мириманоффа (1921 г.) дополняют экстенсивную схему Кантора образования множества интенсивной. Воображаемая логика Н.А.Васильева (1913 г.) наполняет смыслом отрицание закона исключённого третьего. Теорема Островского (1915 г.) устанавливает двойственность функций измерения и даёт основание для введения двойной конвергентно-дивергентной причинности. Парадокс Левенгейма–Сколема (1923 г.) устанавливает типичность двойственности интерпретации формальных систем. Арифметика М.Прессбургера (1929 г.) – полная и непротиворечивая формальная система, снимающая ограничения К.Геделя на познание и позволяющая говорить об истине формальными средствами. Интерпретация р-адических чисел, как инвариантов процессов бесконечной делимости материи С.Улама (1930 г.), придаёт физический смысл предыдущим «дополнительным» результатам и позже оказывается интерпретацией арифметики Прессбургера (А.Макинтайр 1984 г.). Двойственность М.Стоуна (1936 г.) устанавливает тождество геометрии р-адических чисел и булевой алгебры, то есть материи и символа. Формализация и, по сути, решение парадокса «Лжеца» Дж. Майхиллом (1953 г.) указывает путь к двойному толкованию отрицания. Эмпирия фракталов Б.Мандельброта (1972 г.), дополненная нефизическим содержанием, наполняет формальные результаты естественнонаучным смыслом. Точная и разносторонняя связь р-адики с фракталами показана А.Робертом (2000 г.).

Отдельно упомянем становление и развитие вычислительной техники, которое переросло в теоретическую информатику. В ней 2-адические числа – как формальные языки, множества Мириманоффа, двойственность Стоуна, арифметика Прессбургера и двойная семантика отрицания – являются, в отличие от р-адической физики, рабочими инструментами. Теоретическая информатика есть математика нульмерных пространств в их диадической кодировке.

Кроме формальных результатов следует упомянуть об интуиции видных математиков.

Известна мысль Г.Фреге и Б.Рассела о том, что всякая идея и формула имеет двойной смысл – экстенсивный-интенсивный. Антиномизм П.Флоренского – «истина есть антиномия и не может не быть таковою» – укореняет дополнительность в природе. Н.Бор объяснял свой принцип дополнительности ссылкой на картину японского художника «Сто видов Фудзиямы». Н.Н.Моисеев не раз отмечал необходимость множественной интерпретации, то есть дополнительности, в описании любого сложного явления. Ю.И.Манин объяснял связь вещественной и р-адической картины мира аналогией с парой координаты–импульсы теоретической механики. Формула А.Н.Паршина дополнительность = антиномия, информационная интерпретация 2-адических чисел как чисел Платона намечают связь математики с естественным языком.

Формально бинарность в математике получается, если объединить «позитивные» и «негативные» аксиомы теории множеств, используя результаты о независимости, которые заключаются в том, что они совместимы, и поэтому выбор той или иной системы остаётся за человеком. Такими парами являются: аксиома выбора и её отрицание, континуум-гипотеза и её отрицание, закон исключённого третьего и его отрицание в интуиционистской логике, евклидова и проективная геометрии (постулат параллельности), арифметика Пеано и арифметика Прессбургера, множества Кантора и множества Мириманоффа. Фрактальная геометрия и перечисленные результаты обеспечивают теоретическую связность и естественнонаучную содержательность этой бинарности.

Everywhere … Это слово, означающее всюдность, повсеместность, является ёмким итогом фрактальной геометрии. Первоначально выдвинутое М.Барнсли «Fractals Everywhere» («Фракталы повсюду»), в процессе разработки системной теории обросло своими аналогами, которые оказались согласованы друг с другом. Часть из них приводится ниже: «Words and Languages Everywhere» (S.Marcus, 2007), повсеместность слов и языка; «Paraconsistency Everywhere» (G.Restall, 2002), отрицание закона исключенного третьего повсеместно; «Adjoint Functors Everywhere» (S.Maclane, 1998), сопряжение непрерывности и дискретности; «Undecidability Everywhere» (K.Svozil, 2000), неразрешимость повсеместна.

Заключение. В этом кратком изложении мы постарались очертить образ расширенной версии математики в направлении союза с естествознанием, причём собственными же средствами. Тем самым ненаучная, на первый взгляд, интуиция синтеза как семантического многомерия – содержания любого пространственного маломерия, которой сегодня следуют многие учёные, – имеет вполне обоснованное существование в своём оппоненте – абстрактной математике. Иными словами, синтез – это просто многообразие абстракций в пространстве языка, наблюдаемое в природе как её фрактальная геометрия, все вещи которой суть числа.

 Мы привели вариант синтеза в его минимальной редакции. Вне поля зрения остался интригующий вариант о вездесущести числа 4, проходящий через всю историю человечества и вновь возникающий в математике как составленность окружности Z₂ из четырёх равновеликих частей – «Великий квадрат не имеет углов».

Удачен диагноз ситуации И.А.Бесковой – «альтернативная (глубинная, подлинная) реальность недвойственна …истоки двойственности в утрате глубины» в её объёмной модели эволюции природы, расширяющей материальный мир сферой действия ненаблюдаемых универсальных сил – видимая природа есть лишь последние акты драмы взаимодействия универсальных сил» [35], гл.2.4].Отметим один курьёзный факт. Парадоксальным образом осталось незамеченным то, что раз из «противоречия можно вывести всё, что угодно» ( фраза, миллионы раз повторяемая лекторами в назидание нерадивым студентам), то противоречие и может стать точкой синтеза, началом «теории всего». В параллель этому можно вспомнить упрёки философов в адрес математики, которые заключались в указании отсутствия бинарности, недостатке глубины и «борьбы противоречий» в кибернетических моделях естественных систем. Как эти два факта не были сведены и осмыслены, вопрос к историкам науки…

Ф.И.Маврикиди, кандидат технических наук, Институт проблем нефти и газа РАН

mavrikidi@mail.ru